Em matemática, a dimensão de um espaço vetorial V é a cardinalidade (ou seja, o número de vetores) de uma base de V sobre o seu corpo de escalares.^[1] Às vezes ela é chamada de dimensão de Hamel (de Georg Hamel) ou de dimensão algébrica para distingui-la de outros tipos de dimensão.

Todo espaço vetorial tem uma base,^{[nota 1]} e todas as bases de um espaço vetorial têm a mesma cardinalidade;^{[nota 2]} consequentemente, a dimensão de um espaço vetorial é definida unicamente. Diz-se que V tem dimensão finita se a dimensão de V é finita se ele tem dimensão infinita se a sua dimensão é infinita.

A dimensão do espaço vetorial V sobre o corpo F pode ser denotada por dim_F(V) ou por [V : F], que se lê "dimensão de V sobre F". Quando F pode ser deduzido a partir do contexto, geralmente se escreve apenas dim(V).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O espaço vetorial R³ tem

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

como uma base e, portanto, tem-se dim_R(R³) = 3. Em geral, dim_R(Rⁿ) = n, e, de forma ainda mais geral, dim_F(Fⁿ) = n para qualquer corpo F.

x

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Os números complexos C são tanto um espaço vetorial real quanto complexo; tem-se que dim_R(C) = 2 e dim_C(C) = 1. Assim, a dimensão depende do corpo de escalares.

O único espaço vetorial de dimensão 0 é {0}, o espaço vetorial que consiste apenas de seu vetor nulo.

Fatos[editar | editar código-fonte]

Se W é um subespaço vetorial de V, então dim(W) ≤ dim(V).

Para mostrar que dois espaços vetoriais de dimensão finita são iguais, muitas vezes, se utiliza o seguinte critério: se V é um espaço vetorial de dimensão finita e W é um subespaço vetorial de V com dim(W) = dim(V), então W = V.

Rⁿ tem {e₁, ..., e_n} como base canônica, em que e_i é a i-ésima coluna da matriz identidade correspondente. Portanto, Rⁿ tem dimensão n.

Quaisquer dois espaços vetoriais sobre F que tenham a mesma dimensão são isomorfos. Qualquer correspondência bijetiva entre suas bases pode ser estendida unicamente para uma transformação linear entre os espaços vetoriais. Se B é um conjunto, um espaço vetorial de dimensão |B| sobre F pode ser construído da seguinte forma: considera-se o conjunto F^(B) de todas as funções f : B → F tais que f(b) = 0 para todos, exceto uma quantidade finita de b em B. Estas funções podem ser somadas e multiplicadas por elementos de F, obtendo-se o F-espaço vetorial desejado.

Um resultado importante sobre dimensões é dado pelo teorema do núcleo e da imagem para transformações lineares.

Se F/K é uma extensão de corpos, então F é em particular um espaço vetorial sobre K. Além disso, todo F-espaço vetorial V também é um K-espaço vetorial. As dimensões destes espaços estão relacionadas pela fórmula

dim_K(V) = dim_K(F) dim_F(V).

c

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Em particular, todo espaço vetorial complexo de dimensão n é um espaço vetorial real de dimensão 2n.

Algumas fórmulas simples relacionam a dimensão de um espaço vetorial com a cardinalidade do corpo de escalares e a cardinalidade do espaço propriamente dito. Se V é um espaço vetorial sobre um corpo F, então, denotando a dimensão de V por dim V, tem-se:

Se dim V é finita, então |V| = |F|^dim V.

Se dim V é infinita, então |V| = max(|F|, dim V).

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Pode-se pensar em um espaço vetorial como sendo um caso particular de um matroid, e neste caso há uma noção de dimensão bem definida. Tanto o comprimento de um módulo quanto o posto de um grupo abeliano têm várias propriedades semelhantes à dimensão dos espaços vetoriais.

A dimensão de Krull de um anel comutativo, assim chamada em referência a Wolfgang Krull (1899–1971), é definida como o número máximo de inclusões estritas em uma cadeia ascendente de ideais primos no anel.

Traço[editar | editar código-fonte]

A dimensão de um espaço vetorial pode ser caracterizada alternativamente como o traço do operador identidade. Por exemplo, ${\displaystyle \operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbf {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.}$ Esta parece ser uma definição circular, mas permite generalizações úteis.

Em primeiro lugar, ela permite definir uma noção de dimensão quando se tem um traço, mas não há um significado natural para uma "base". Por exemplo, pode-se ter uma álgebra A com aplicações ${\displaystyle \eta \colon K\to A}$ (a inclusão de escalares, chamada de unidade) e uma aplicação ${\displaystyle \epsilon \colon A\to K}$ (correspondente ao traço, chamada de counidade). A composição ${\displaystyle \epsilon \circ \eta \colon K\to K}$ é um escalar (sendo um operador linear sobre um espaço unidimensional), corresponde ao "traço da identidade", e dá uma noção de dimensão para uma álgebra abstrata. Na prática, em biálgebras exige-se que esta aplicação seja a identidade, que pode ser obtida normalizando-se a counidade dividindo-a pela dimensão (${\displaystyle \epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} }$), assim, nestes casos, a constante de normalização corresponde à dimensão.

Alternativamente, pode ser possível calcular o traço de operadores em um espaço vetorial de dimensão infinita; neste caso, um traço (finito) é definido, mesmo que não exista uma dimensão (finita), e dá uma noção de "dimensão do operador". Estes caem sob a rubrica de "operadores de classe tracial em um espaço de Hilbert, ou, mais geralmente, operadores nucleares, em um espaço de Banach.

Uma generalização mais sutil é considerar o traço de uma família de operadores como uma espécie de dimensão "torcida". Isso ocorre significativamente em teoria de representação, onde o caráter de uma representação é o traço da representação, portanto, uma função a valores escalares definida em um grupo ${\displaystyle \chi \colon G\to K,}$ cujo valor na identidade ${\displaystyle 1\in G}$ é a dimensão da representação, já que uma representação leva a identidade do grupo na matriz identidade: ${\displaystyle \chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.}$ Pode-se visualizar os demais valores ${\displaystyle \chi (g)}$ do caráter, como dimensões "torcidas", e encontrar generalizações análogas de afirmações sobre dimensões para afirmações sobre carácteres ou representações. Um exemplo sofisticado disso ocorre na teoria de monstruos moonshine: o j-invariante é a dimensão graduada de uma representação de dimensão infinita do grupo monstro, e a substituição da dimensão pelo caráter fornece a série de McKay–Thompson de cada elemento do grupo Monstro.^[2]

AS DIMENSÕES CATEGORIAIS DE GRACELI NÃO ESTÃO RELACIONADAS COM ESPAÇO GEOMÉTRICO [LATITUDE, LONGITUDE, ALTURA], OU O TEMPO MAS COM AAS CATEGORIAS DE GRACELI [TIPOS, NÍVEIS, POTENCIAIS E TEMPO DE AÇÃO SOBRE A MATÉRIA, A ENERGIA E OS FENÔMENOS COM AS VARIAÇÕES TRANSCENDENTES E INDETERMINADAS.



COMO O EXPOSTO ABAIXO;

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

mecânica TRANSICIONAL Graceli se fundamenta nas mudanças de fases de estados, fases de isótopos, de estrutura atômica e molecular, [ FASES DE ESTADOS, ESTRUTURAS, ENERGIAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES CATEGORIAIS] com variáveis de movimentos, interações, transformações, temperatura, densidade e pressão, e outros, e conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli [SDC Graceli]. E FENÔMENOS E ENERGIAS E VARIAÇÕES DE ESTRUTURAS QUE ACONTECEM DENTRO DAS ESTRUTURAS E ENERGIAS.


um ferromagnético sendo derretido a 300 graus Celsius tem uma realidade física e química, e com variações quântica e orbitais, elétrica, termodinâmicas, mecãnicas, e outros diferentes de um derretimento a 350 graus.

o mesmo serve para outros materiais e com outras variações levando a um indeterminismo transcendente, categorial e decadimensional Graceli.

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

O sistema decadimensional e categorial Graceli pode ser visto como um outro ramo da física e da química, onde envolve condições da matéria e da energia, fenômenos e dimensões, realçados por categorias.

O único sistema que relaciona dez dimensões relacionadas com a matéria e suas energias, fenômenos e categoria.

Com isto pode-se dividir a física em quatro grandes fases:

a clássica, a quântica, a relatividade, e a categorial decadimensional Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

NO SISTEMA CATEGORIAL DE GRACELI TODO TIPO DE MOVIMENTO TEM AÇÃO TRANSFORMADORA  [como os outros elementos, como temperatura, radioatividade, luz, e outros],SOBRE ESTRUTURAS E ENERGIAS, TEMPO E ESPAÇO, INÉRCIA E GRAVIDADE, LUZ .

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.


Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.


E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.


E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.



Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.


Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.


Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.


A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.


Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.


Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.


Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.


Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.


Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.


Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.


Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo,  e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.


Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.



a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.



that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.



and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.



but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.



as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

 = entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.


todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico  e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico,  e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Matriz categorial de Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..


EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].